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Berliner Studienreihe zur Mathematik -- Band 16

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Hans Havlicek

Lineare Algebra
für Technische Mathematik


4. korrigierte und erweiterte Auflage, x + 426 Seiten,
fester Einband, ISBN 978-3-88538-116-7, EUR 38.90, 2022

Dieses Lehrbuch der linearen Algebra setzt außer dem Schulwissen keine besonderen Kenntnisse voraus. Es ist so abgefasst, dass es ab dem ersten Semester gelesen werden kann. Das Buch soll aber zugleich ein Begleiter durch das gesamte Studium sein.

Im Mittelpunkt steht der Standardstoff: endlichdimensionale Vektorräume, lineare Abbildungen, Matrizen, Determinanten und Skalarprodukte. Einige Kapitel sind der Geometrie gewidmet. Die Darstellung und der Inhalt richten sich jedoch an den Bedürfnissen von Studierenden der Mathematik aus. Daher werden etwa auch unendlichdimensionale Vektorräume, die Jordan-Normalform, semilineare Abbildungen und Sesquilinearformen behandelt. Besonderer Wert wurde auf Beispiele gelegt, wobei manchmal auch ein Ausblick in andere mathematische Disziplinen wie Analysis, Codierungstheorie, Funktionalanalysis oder die numerische lineare Algebra geboten wird. Zum Einüben und zur Ergänzung des Stoffes können die insgesamt 346 Aufgaben dienen.


Das Inhaltsverzeichnis:

 
  Vorwort ix
     
1 Grundlagen  
1.1 Vorbemerkungen über die Logik 1
1.2 Vorbemerkung über Mengen 5
1.2 Geordnete Paare, Relationen und Abbildungen 7
1.3 Eigenschaften von Abbildungen 10
1.5 Produkt von Abbildungen 12
1.6 Familien und Mengenfamilien 14
1.7 Äquivalenzrelationen  18
1.8 Halbordnungen 23
1.9 Gruppen 24
1.10 Körper 30
1.11 Gruppenhomomorphismen 35
1.12 Körperisomorphismen 41
1.13 Symmetrische Gruppen 43
     
2 Vektorräume  
2.1 Elementare Vektorrechnung 46
2.2 Definition und Beispiele von Vektorräumen 48
2.3 Unterräume 51
2.4 Linear abhängige und linear unabhängige Familien 56
2.5 Erzeugendensysteme und Basen 59
2.6 Endlich erzeugte Vektorräume 62
2.7 Elementare Umformungen 65
2.8 Der Dimensionssatz 71
     
3 Lineare Abbildungen  
3.1 Elementare Vorbemerkungen 76
3.2 Definition und Beispiele linearer Abbildungen 77
3.3 Der Fortsetzungssatz 81
3.4 Koordinaten und Koordinatenmatrizen 86
3.5 Lineare Selbstabbildungen 91
3.6 Vektorräume linearer Abbildungen 95
     
4 Duale Vektorräume  
4.1 Elementare Vorbemerkungen 98
4.2 Linearformen und Hyperebenen 99
4.3 Duale Basen 103
4.4 Koordinatenwechsel 106
4.5 Bidualräume 108
4.6 Äquivalente Matrizen 111
4.7 Lineare Gleichungssysteme 116
4.8 Annullatorräume 124
4.9 Transponierte Abbildungen 131
     
5 Semilineare Abbildungen  
5.1 Definition semilinearer Abbildungen 137
5.2 Eigenschaften semilinearer Abbildungen 139
5.3 Faktorräume 142
     
6 Lineare Geometrie  
6.1 Affine Räume 144
6.2 Affine Linearkombinationen 148
6.3 Semiaffine Abbildungen 153
6.4 Affine Koordinaten und affine Funktionen 160
6.5 Projektive Räume 165
6.6 Zusammenhang von affinen und projektiven Räumen 170
6.7 Kollineare Abbildungen 175
6.8 Projektive Koordinaten 181
     
7 Determinantenformen und Determinanten  
7.1 Elementare Vorbemerkungen 188
7.2 Determinantenformen 190
7.3 Determinanten linearer Abbildungen 196
7.4 Berechnung und Entwicklung von Determinanten 198
7.5 Anwendungen 203
     
8 Lineare Selbstabbildungen  
8.1 Polynome 207
8.2 Nullstellen von Polynomen 211
8.3 Eigenwerte und Eigenvektoren 217
8.4 Das charakteristische Polynom 219
8.5 Diagonalisierbarkeit 224
8.6 Der Satz von Cayley-Hamilton 226
8.7 Die Normalform von Jordan 229
8.8 Komplexe Erweiterung reeller Vektorräume 245
8.9 Die reelle Normalform von Jordan 250
     
9 Sesquilinearformen  
9.1 Elementare Skalarprodukte 256
9.2 Definition und Beispiele von Sesquilinearformen 258
9.3 Kongruente Sesquilinearformen 261
9.4 Orthosymmetrische Sesquilinearformen 264
9.5 Orthogonalräume 271
9.6 Quadratische Formen 276
9.7 Komplexe Fortsetzung von Bilinearformen 278
9.8 Orthogonale Zerlegungen 280
9.9 Symmetrische Bilinearformen komplexer Vektorräume 286
9.10 Der Trägheitssatz von Sylvester 288
     
10 Quadratische Funktionen und Quadriken  
10.1 Elementare Vorbemerkungen 294
10.2 Quadratische Funktionen 295
10.3 Affine Quadriken 303
10.4 Projektive Quadriken 310
10.5 Zusammenhang von affinen und projektiven Quadriken 315
10.6 Anwendungen 320
     
11 Vektorräume mit Skalarprodukt  
11.1 Definition und Beispiele von Skalarprodukten 322
11.2 Gradienten 326
11.3 Normierte Vektorräume 329
11.4 Reziproke Basen 332
11.5 Orthogonalbasen und Orthogonalsysteme 335
11.6 Gram-Matrizen 343
     
12 Adjungierte Abbildungen  
12.1 Definition adjungierter Abbildungen 348
12.2 Isometrische Abbildungen 352
12.3 Normale Abbildungen 357
12.4 Isometrische Gruppen 362
12.5 Selbstadjungierte Abbildungen 368
12.6 Die Hauptachsentransformation 372
12.7 Die Singulärwertedarstellung 375
12.8 Polar- und QR-Zerlegung 379
12.9 Moore-Penrose-inverse Abbildungen 386
     
13 Metrisch-affine Geometrie  
13.1 Metrisch-affine Räume 392
13.2 Abstands- und Winkelmessung 394
13.3 Kongruenzabbildungen 397
13.4 Quadratische Funktionen und Quadriken in euklidischen Räumen 401
13.5 Abstandsverzerrung bei affinen Abbildungen406
     
  Literaturverzeichnis 410
  Symbolverzeichnis 412
  Sachverzeichnis 416


Hans Havlicek ist Professor an der Technischen Universität Wien.