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Berliner Studienreihe zur Mathematik -- Band 16

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Hans Havlicek

Lineare Algebra
für Technische Mathematiker


3. korrigierte und erweiterte Auflage, xi + 424 Seiten,
fester Einband, ISBN 978-3-88538-116-7, EUR 34.00, 2012

Dieses Lehrbuch der linearen Algebra setzt außer dem Schulwissen keine besonderen Kenntnisse voraus. Es ist so abgefasst, dass es ab dem ersten Semester gelesen werden kann. Das Buch soll aber zugleich ein Begleiter durch das gesamte Studium sein.

Im Mittelpunkt steht der Standardstoff: endlichdimensionale Vektorräume, lineare Abbildungen, Matrizen, Determinanten und Skalarprodukte. Einige Kapitel sind der Geometrie gewidmet. Die Darstellung und der Inhalt richten sich jedoch an den Bedürfnissen von Studierenden der Mathematik aus. Daher werden etwa auch unendlichdimensionale Vektorräume, die Jordan-Normalform, semilineare Abbildungen und Sesquilinearformen behandelt. Besonderer Wert wurde auf Beispiele gelegt, wobei manchmal auch ein Ausblick in andere mathematische Disziplinen wie Analysis, Codierungstheorie, Funktionalanalysis oder die numerische lineare Algebra geboten wird. Zum Einüben und zur Ergänzung des Stoffes können die insgesamt 346 Aufgaben dienen.


Das Inhaltsverzeichnis:

 
  Vorwort ix
     
1 Grundlagen  
1.1 Vorbemerkungen über die Logik 1
1.2 Vorbemerkung über Mengen 5
1.2 Geordnete Paare, Relationen und Abbildungen 7
1.3 Eigenschaften von Abbildungen 10
1.5 Produkt von Abbildungen 12
1.6 Familien und Mengenfamilien 14
1.7 Äquivalenzrelationen  18
1.8 Halbordnungen 23
1.9 Gruppen 24
1.10 Körper 30
1.11 Gruppenhomomorphismen 35
1.12 Körperisomorphismen 40
1.13 Symmetrische Gruppen 42
     
2 Vektorräume  
2.1 Elementare Vektorrechnung 45
2.2 Definition und Beispiele von Vektorräumen 47
2.3 Unterräume 50
2.4 Linear abhängige und linear unabhängige Familien 55
2.5 Erzeugendensysteme und Basen 58
2.6 Endlich erzeugte Vektorräume 61
2.7 Elementare Umformungen 64
2.8 Der Dimensionssatz 70
     
3 Lineare Abbildungen  
3.1 Elementare Vorbemerkungen 75
3.2 Definition und Beispiele linearer Abbildungen 76
3.3 Der Fortsetzungssatz 80
3.4 Koordinaten und Koordinatenmatrizen 85
3.5 Lineare Selbstabbildungen 90
3.6 Vektorräume linearer Abbildungen 94
     
4 Duale Vektorräume  
4.1 Elementare Vorbemerkungen 97
4.2 Linearformen und Hyperebenen 98
4.3 Duale Basen 102
4.4 Koordinatenwechsel 105
4.5 Bidualräume 107
4.6 Äquivalente Matrizen 110
4.7 Lineare Gleichungssysteme 115
4.8 Annullatorräume 123
4.9 Transponierte Abbildungen 129
     
5 Semilineare Abbildungen  
5.1 Definition semilinearer Abbildungen 136
5.2 Eigenschaften semilinearer Abbildungen 138
5.3 Faktorräume 141
     
6 Lineare Geometrie  
6.1 Affine Räume 143
6.2 Affine Linearkombinationen 147
6.3 Semiaffine Abbildungen 152
6.4 Affine Koordinaten und affine Funktionen 159
6.5 Projektive Räume 164
6.6 Zusammenhang von affinen und projektiven Räumen 169
6.7 Kollineare Abbildungen 174
6.8 Projektive Koordinaten 180
     
7 Determinantenformen und Determinanten  
7.1 Elementare Vorbemerkungen 187
7.2 Determinantenformen 189
7.3 Determinanten linearer Abbildungen 195
7.4 Berechnung und Entwicklung von Determinanten 197
7.5 Anwendungen 202
     
8 Lineare Selbstabbildungen  
8.1 Polynome 206
8.2 Nullstellen von Polynomen 210
8.3 Eigenwerte und Eigenvektoren 216
8.4 Das charakteristische Polynom 218
8.5 Diagonalisierbarkeit 223
8.6 Der Satz von Cayley-Hamilton 225
8.7 Die Normalform von Jordan 228
8.8 Komplexe Erweiterung reeller Vektorräume 244
8.9 Die reelle Normalform von Jordan 249
     
9 Sesquilinearformen  
9.1 Elementare Skalarprodukte 255
9.2 Definition und Beispiele von Sesquilinearformen 257
9.3 Kongruente Sesquilinearformen 260
9.4 Orthosymmetrische Sesquilinearformen 263
9.5 Orthogonalräume 270
9.6 Quadratische Formen 275
9.7 Komplexe Fortsetzung von Bilinearformen 277
9.8 Orthogonale Zerlegungen 279
9.9 Symmetrische Bilinearformen komplexer Vektorräume 285
9.10 Der Trägheitssatz von Sylvester 287
     
10 Quadratische Funktionen und Quadriken  
10.1 Elementare Vorbemerkungen 293
10.2 Quadratische Funktionen 294
10.3 Affine Quadriken 302
10.4 Projektive Quadriken 309
10.5 Zusammenhang von affinen und projektiven Quadriken 314
10.6 Anwendungen 319
     
11 Vektorräume mit Skalarprodukt  
11.1 Definition und Beispiele von Skalarprodukten 321
11.2 Gradienten 325
11.3 Normierte Vektorräume 328
11.4 Reziproke Basen 331
11.5 Orthogonalbasen und Orthogonalsysteme 334
11.6 Gram-Matrizen 342
     
12 Adjungierte Abbildungen  
12.1 Definition adjungierter Abbildungen 346
12.2 Isometrische Abbildungen 350
12.3 Normale Abbildungen 355
12.4 Isometrische Gruppen 360
12.5 Selbstadjungierte Abbildungen 366
12.6 Die Hauptachsentransformation 370
12.7 Die Singulärwertedarstellung 373
12.8 Polar- und QR-Zerlegung 377
12.9 Moore-Penrose-inverse Abbildungen 384
     
13 Metrisch-affine Geometrie  
13.1 Metrisch-affine Räume 390
13.2 Abstands- und Winkelmessung 392
13.3 Kongruenzabbildungen 395
13.4 Quadratische Funktionen und Quadriken in euklidischen Räumen 399
13.5 Abstandsverzerrung bei affinen Abbildungen404
     
  Literaturverzeichnis 408
  Symbolverzeichnis 410
  Sachverzeichnis 414


Hans Havlicek ist Professor an der Technischen Universität Wien.